В данной статье мне хотелось бы дать несколько дополнительных комментариев по теме, затронутой в одной из моих предыдущих статей «Как определить максимальные напряжения в анализе гармонических колебаний?» (ссылка на оригинал: How Do You Find the Peak Stress in a Harmonic Response Analysis). В той статье вопросы, касающиеся сдвига по фазе (phase angle) были освещены только вскользь. Сейчас я хотел бы разобрать эту тему более подробно.
Рассмотрим тестовую задачу, показанную выше на рисунке 1. В задаче рассчитывается консольная часть вала с учётом наличия дисбаланса. На рисунке 1 также показаны две первые собственные формы колебаний.
При измерении амплитуды перемещения свободного конца вращающегося вала с увеличением частоты вращения от нуля до 300 Гц мы получим график, показанный на рисунке 2. Судя по наличию двух пиков на графике, в этом диапазоне частот вращения вал проходит через две точки резонанса, соответствующие частотам двух первых собственных форм колебаний (эти частоты отмечены на рисунке серыми линиями).
Величина сдвига по фазе (phase angle) на данном графике является отставанием по фазе максимального отклика от приложенной нагрузки. Если рассмотреть начальную часть графика ближе (см. рисунок 3), видно, что сдвиг по фазе остаётся практически равен нулю вплоть до околорезонансных частот. Действительно, если устремить частоту вращения к нулю, направление отклонения вала будет полностью соответствовать направлению приложенной нагрузки, как и в статической задаче. При повышении частоты вращения вал рано или поздно достигнет резонансной частоты, при этом фазы приложенной нагрузки и максимального отклика начинаю существенно различаться. В классической задаче о колебаниях системы с одной степенью свободы сдвиг по фазе на резонансной частоте равен 90 градусов.
Для лучшего понимания явления сдвига по фазе можно обратиться к рисунку 4. На рисунке показаны оси X и Y, а также положения точек максимального отклика для четырёх различных положений вала по мере его вращения. Начальное положение нагрузки, обусловленной наличием эксцентриситета, – 0°. Положение вала, показанное слева, соответствует случаю внешней нагрузки, приложенной в фазе 0° (точка приложения нагрузки обозначена серым кружком). На каждом последующем изображении показаны моменты времени, в которых внешняя нагрузка поворачивается относительно предыдущего положения на 90° (показаны положения нагрузки 90°, 180° и -90°).
Остальные цветные кружки обозначают расположение максимального отклика по перемещениям при различных частотах вращения вала. Синий кружок соответствует статическому расчёту с нулевым сдвигом по фазе, такой отклик наблюдается на очень низких оборотах. Расположение синего кружка следует за серым на протяжении всего оборота. Когда обороты возрастают, и частота вращения вала приближается к резонансной (отклик обозначен красным кружком), нарастает и запаздывание максимального отклика от положения нагрузки. После перехода оборотов в закритическую область запаздывание продолжает расти. Также следует обратить внимание, что на резонансной частоте запаздывание по фазе составляет 90°.
Явление отставания отклика от нагрузки также хорошо заметно на графиках изменения отклика по какому-нибудь направлению от времени. Например, возьмём перемещение по оси X pharaoncasinos. Статический отклик (синяя линия на рисунке 5), наблюдающийся при низких оборотах, полностью соответствует фазе нагрузки. На докритических оборотах, очень близких к резонансу, сдвиг фазы составляет примерно 45° (красная линия). Ровно на собственной частоте сдвиг фаз нарастает до 90° (зелёная линия), и далее до 130° на закритических оборотах, также очень близких к резонансу (фиолетовая линия). Если бы мы рисовали графики для идеальной системы с одной степенью свободы, по мере нарастания оборотов сдвиг фаз стремился бы к 180°.
Если свести имеющуюся информацию на один рисунок (см. рисунок 6), станет лучше видно, как амплитудно-частотная характеристика соотносится с временной реализацией отклика, представленной на рисунке 5.
Надеюсь, что данная статья поможет внести ясность в вопрос о сдвиге фаз отклика на гармоническую нагрузку, а также объяснить, почему мы можем наблюдать направления максимального отклика, которые, казалось бы, не соответствуют физическому смыслу и направлению приложенной нагрузки.
Источник: caeai.com
Автор: Eric Stamper