Действительно ли эти досаждающие узлы, находящиеся в серединах ребер конечных элементов, выполняют какую-то функцию, помимо того, что увеличивают количество узлов и длительность расчёта? За годы работы я слышу этот вопрос снова и снова. «Необходимы ли они на самом деле?» Если в качестве конечных элементов вы используете тетраэдры, то ответ однозначен – «да»! Обеспечение точного описания исходной геометрии является не единственной их функцией. Срединные узлы тетраэдрических конечных элементов необходимы для точного определения напряжений. Тетраэдры первого порядка имеют завышенную жесткость и дают заниженные значения перемещений и напряжений в сравнении с тетраэдрами второго порядка. Давайте посмотрим на зависимости, которые задают функцию формы для обоих типов конечных элементов.
Я смоделировал свободно опертую пластину с прямоугольным поперечным сечением. Ее размеры составляют 100 дюймов в длину, 10 – в ширину и 1 – в толщину. К пластине приложено равномерно распределённое давление в 1 psi (фунт на квадратный дюйм). Я задал размер конечных элементов сетки в 1 дюйм и провел расчеты, изменяя тип конечных элементов: тетраэдры первого порядка, тетраэдры второго порядка, гексаэдры первого порядка, и, наконец, гексаэдры второго порядка. В таблице ниже результаты расчета в ANSYS сопоставлены с аналитическим решением, выполненным с использованием 7-го издания учебника «Roark’s Formulas for Stress and Strain» (таблица 8.1, случай 2e).
| Прогиб, дюймов | Отличие от аналитического расчёта, % | Напряжение, psi | Отличие от аналитического расчёта, % | Количество узлов | Количество элементов | |
| Аналитическое решение | -0,53864 | 7500,0 | ||||
| 20-узловой гексаэдр | -0,54159 | 0,55% | 7527,0 | 0,36% | 7553 | 1000 |
| 8-узловой гексаэдр | -0,54142 | 0,52% | 7529,5 | 0,39% | 2222 | 1000 |
| 10-узловой тетраэдр | -0,54158 | 0,55% | 7525,9 | 0,35% | 20661 | 11998 |
| 4-узловой тетраэдр | -0,27151 | –49,6% | 2249,3 | –70,0% | 3222 | 11999 |
Как видите, применение гексаэдрических элементов наряду с 10-узловыми тетраэдрическими дает близкие значения и обеспечивает результат в запас прочности. Четырёхузловые тетраэдры, которые по сути являются вырожденными 8-узловыми гексагональными элементами (ANSYS давно исключил четырёхузловые тетраэдрические элементы), дают только половину величины прогиба под той же нагрузкой. Чрезмерная жесткость также приводит к завышенным собственным частотам. Частоты, полученные на тетраэдрах первого порядка, на 40% выше, чем на тетраэдрах второго порядка. В реальных расчётах это различие также может привести к расчёту не в запас.
Конечно, сетка со всего лишь одним элементом по толщине пластины является слишком грубой. А как изменится результат, если уплотнить сетку? Давайте просто уменьшим размер элемента в два раза, чтобы получить дополнительные узлы и тот же результат, что и для элементов второго порядка, не так ли?
| Размер конечного элемента | Прогиб, дюймов | Отличие от аналитического расчёта, % | Напряжение, psi | Отличие от аналитического расчёта, % | Количество узлов | Количество элементов |
| Аналитическое решение | -0,53864 | 7500,0 | ||||
| 1” | -0,27151 | –49,6% | 2249,3 | -70,0% | 3222 | 11999 |
| 0,5” | -0,39768 | -26,2% | 4879,1 | -34,9% | 17624 | 77612 |
| 0,3” | -0,47582 | -11,7% | 6069,5 | -19,1% | 69040 | 334433 |
| 0,2” | -0,51023 | -5,3% | 6760,9 | -9,8% | 213122 | 1105641 |
| 0,1” | -0,53345 | -0,96% | 7309,6 | -2,5% | 1599327 | 8877326 |
Как видите, ответ на поставленный вопрос – отрицательный. Поскольку элементы второго порядка имеют квадратичную функцию формы, требуется далеко не два линейных элемента, чтобы приблизить результат к элементам второго порядка. Анимация ниже объясняет, почему это происходит. Вы можете видеть ошибку, вносимую каждым набором линейных элементов при попытке аппроксимировать квадратичную функцию.
Другой пример: я создал модель длинной балки квадратного поперечного сечения с отверстиями. Один конец балки жестко защемлён, к другому приложена поперечная сила. В настройках сетки я указал «Mechanical» в качестве типа задачи (Physics preference) и задал высокую степень детализации (Relevance Center -> High). Полученная сетка изображена на рисунке ниже (довольно неплохой результат для 15 секунд работы).
Для того, чтобы быть уверенным, что расположение элементов в обоих случаях (элементы первого и второго порядка) идентично, я настроил генератор сетки на создание элементов первого порядка (Midside nodes -> Drop), а затем для создания сетки с элементами второго порядка применил команды APDL для преобразования элементов первого порядка в элементы типа Solid187 перед запуском расчёта. Так как при этой операции из модуля Mechanical передаётся только сетка (без геометрической модели), происходит простое добавление промежуточных узлов на серединах сторон элементов. Рёбра элементов при этом остаются прямыми. Вот использованный мною перечень команд, вы также можете попробовать применить их самостоятельно:
Оценивая полученные результаты только в зоне отверстия, ближайшего к жесткой заделке, мы видим, что значения напряжений в двух расчетах различаются. Применение тетраэдров первого порядка дает на 12% процентов меньшие значения прогибов и на 19% меньшие значения напряжений, чем применение тетраэдров с промежуточными узлами в серединах ребер (зато, смотрите, на элементах первого порядка я сэкономил 4 секунды на проведении расчёта – начальству это должно понравиться!).
| Количество элементов | Количество узлов | Суммарный прогиб, дюймов | Эквивалентные напряжения по Мизесу, ksi (килофунт на квадратный дюйм) | Длительность расчёта, с | |
| Элементы первого порядка | 18383 | 4854 | 0,28744 | 177,51 | 6,677 |
| Элементы второго порядка | 18383 | 31332 | 0,32633 | 219,46 | 10,951 |
А сколько же теперь нужно тетраэдров первого порядка для получения такой же точности, как на сетке с элементами второго порядка? Для ответа на этот вопрос я воспользовался инструментом автоматического обеспечения сходимости (Convergence Tool). Этот инструмент измельчает сетку только в области модели, наиболее сильно влияющей на результат расчёта. Полученная сетка выглядит так.
| Количество элементов | Количество узлов | Эквивалентные напряжения по Мизесу, ksi (килофунт на квадратный дюйм) | Время выполнения анализа, с | |
| Элементы первого порядка | 1271619 | 234484 | 21,951 | 349,785 |
| Элементы второго порядка | 18383 | 31332 | 21,946 | 10,951 |
Последняя итерация расчета заняла чуть менее 6 минут. Напряжения наконец-то получились такой же величины, как и на сетке с конечными элементами второго порядка. Однако значения прогибов по-прежнему неправильны, ведь сетка была уплотнена только вблизи отверстия с максимальными напряжениями. Повторите за мной: «Если значения прогибов не верны, то и напряжения не могут быть истинны!» Итак, я потратил полчаса на неправильный расчёт и надеюсь, что вы не захотите поступать так же в своей практике. Просто запомните, промежуточные узлы конечных элементов – ваши друзья. Как и с любым хорошим другом, его помощь можно и нужно регулярно использовать!
Источник: http://www.padtinc.com/blog/the-focus/mid-side-nodes-do-they-really-help
Автор: Joe Woodward