В рамках компании CAE Associates мы часто проводим обучение по методу конечных элементов. В числе проблем, на которых мы заостряем внимание, можно упомянуть необходимость использования качественной геометрической модели, качественного задания нагрузок, данных о материале и граничных условий. Помимо очевидной потребности в получении точных результатов, есть некоторые специфические особенности геометрии и нагрузок, требующие особого внимания. В первую очередь, это острые углы и точечные нагрузки. Инженеры-расчётчики часто получают в работу геометрические модели, содержащие острые углы, и информацию о нагрузках, приложенных концентрировано в точке или по ребру. Почему нельзя использовать эту информацию в том виде, как она предоставлена? Что за проблема с этими острыми углами и точечными нагрузками? А проблема в том, что они являются источником численных сингулярностей, возникающих при расчёте. Результаты в этих местах будут неточными даже при использовании очень точных исходных данных и очень мелкой сетки.

Эти области представляют собой концентраторы напряжений с бесконечно малым радиусом. Конечноэлементный анализ определяет напряжения в этих углах с учётом местного размера элементов, так что более мелкие элементы приводят к более высоким напряжениям. Следовательно, уплотнение сетки приводит лишь к неограниченному росту напряжений. Этот эффект проиллюстрирован на рисунке 2 на примере участка подкрепленной панели, нагруженной на изгиб.

Синяя линия сверху показывает, что решение не обладает сходимостью с уплотнением сетки, что должно было бы иметь место. Лучшим решением этой проблемы является устранение острых углов (или ребер) с помощью скруглений. Эффект от этого изменения проиллюстрирован на графике красной линией. Численные сингулярности пропадают, и решение приобретает сходимость при уплотнении сетки.

Подобной проблемой является приложение нагрузок концентрированно в вершине или по ребру. Теоретически, эти объекты имеют бесконечно малую площадь, а потому возникающие от такого приложения нагрузки напряжения будут бесконечно большими. Решатель МКЭ будет вычислять напряжения с учётом размера элементов у вершины или ребра, к которым приложена нагрузка. Следовательно, уплотнение сетки и уменьшение размера элементов будет приводить к неограниченному росту напряжений. Этот эффект проиллюстрирован синей линией на рисунке 3, где показан тот же участок подкреплённой панели, что и ранее, но на этот раз нагрузка приложена по ребру вблизи свободного конца.

В таком случае локальное напряжение под приложенной нагрузкой очень высоко и существенно увеличивается при уменьшении размера элементов. Решением этой проблемы является распределение нагрузки по площади. Эффект от этого изменения показан на рисунке 3 красной линией: та же самая нагрузка была распределена по небольшой площади вместо ребра. Ожидаемо, это устранило численную сингулярность и резко понизило локальные напряжения.

Во многих случаях, устранение острых углов и точечных нагрузок невозможно без приложения определённых усилий и временных затрат. Безусловно, эти местные особенности можно и оставить, но только если они расположены вдали от всех опасных зон конструкции, для которых необходимы точные результаты. Если острые углы и точечные нагрузки все-таки остались в модели, вы должны чётко осознавать их наличие и влияние на результаты в соответствующих зонах модели. При анализе полученных напряжений, вы должны быть аккуратными со всеми источниками сингулярностей и должны учесть, что напряжения в этих зонах не следует рассматривать как действительные или точные.

Есть и другие источники численных сингулярностей, такие как заданные в точках ограничения степеней свободы и «трещины» в сетке, но острые внутренние углы и точечные нагрузки являются наиболее часто встречающимися. Навык по их распознаванию и работе с ними является важной частью процесса моделирования методом конечных элементов.

Автор: Steven Hale
Источник: https://caeai.com/blog/why-worry-about-sharp-corners-and-point-loads