Как часто вы проводили расчёт контактной задачи, по результатам которого оказывалось, что модель не сходится? Возможно, вы даже пытались добавить больше подшагов решения для того, чтобы обеспечить плавное приложение нагрузки, либо воспользовались некоторыми из советов, изложенных в статье моего коллеги Питера Баррета (Peter Barrett) "Stress Analysis Convergence Tips for “Dummies". В данной статье я постараюсь обсудить важные вопросы, касающиеся основ решения нелинейных задач и обеспечения сходимости, а также расскажу о различных способах для преодоления затруднений со сходимостью расчёта.

Что касается задач о контактном взаимодействии, для них существуют следующие типовые способы улучшения сходимости расчёта:

1. Необходимо устранить движение незакреплённых тел:
   1. В начале расчёта необходимо обеспечить наличие контакта между всеми деталями, которые должны соприкасаться. Этого можно достичь путём перемещения тел, добавления сдвижки на контактных поверхностях (contact offset) или с использованием механизма демпфирования (stabilization damping).
   2. Задать трение по контактирующим поверхностям.
2. При отсутствии сходимости расчёта следует:
   1. Уменьшить жесткость контактных элементов (по опыту, плавное приложение нагрузки и снижение жесткости контактных пар обеспечивает решение 90% проблем со сходимостью расчёта)
   2. Уплотнить сетку в зоне контакта, чтобы уменьшить долю элементов, в которых во время расчёта изменяется статус контакта.

В данной статье для демонстрации вышеописанных методов я рассмотрю весьма специфичный пример, который также поможет понять механизмы обеспечения сходимости для сложных контактных задач, в которых сходимость достигается не без труда. Стоит отметить, что многие конечноэлементные пакеты, в частности ANSYS, располагают эвристическими алгоритмами настройки параметров контактного взаимодействия исходя из специфики задачи. Они направлены на обеспечение быстрой сходимости и получение наиболее точного решения. Однако, разработать подобные алгоритмы, которые хорошо подходили под любую задачу, затруднительно. Как правило, используемые алгоритмы оптимизированы под типовые задачи, так что в специфических ситуациях требуется настройка параметров вручную.

Расчёт проведен в ANSYS. Для обеспечения сходимости понадобилось выполнить ряд шагов.

Попытка №1:

С первой попытки сходимость обеспечить не удалось. Решатель выдал ошибку «Превышен внутренний предел значений в решателе» (“An internal solution magnitude limit was exceeded”). Также возможны сообщения о маленьком значении опорного элемента матрицы в преобразовании Гаусса (“Small negative equation solver pivot term”) или о наличии каких-либо ошибок, связанных с опорным элементом матрицы (“Solver pivot warnings or errors have been encountered”). Все эти ошибки обычно являются признаком движения незакреплённых тел. Распределение перемещений в несошедшемся решении, показанное на рисунке 2, демонстрирует, что жесткая плита просто прошла сквозь контактную поверхность пружины!

Скрупулёзный анализ геометрической модели показывает, что между поверхностями, которые должны контактировать друг с другом, присутствует начальный зазор (см. рисунок 3).

В некоторых конечноэлементных программах, таких как ANSYS, есть инструменты для получения исходного статуса контактного взаимодействия (можно посмотреть величину зазора либо взаимного проникновения между телами). Для рассмотренной задачи результаты выглядят следующим образом:

Если бы я проверил эту информацию перед запуском модели на расчёт, то зазор можно было бы сразу устранить.

Проблема: Начальный зазор между контактирующими деталями при отсутствии граничных условий, исключающих движение тела.
Решение проблемы: устранить начальный зазор.

Попытка №2:

Устранить начальный зазор можно либо с помощью перемещения тел до состояния, когда они будут соприкасаться, либо с помощью задания смещения контактной поверхности. ANSYS позволяет как ввести значение такого смещения вручную, так и автоматически рассчитать его при задании настройки «подогнать до касания» (“Adjust to Touch”). Именно эта настройка была использована для расчёта рассмотренного примера.

К сожалению, после продолжительных итераций и дроблений шага по времени, вторая попытка расчёта также не завершилась успешно. Снова была получена ошибка “An internal solution magnitude limit was exceeded”, указывающая на движение незакреплённого тела. Но по какой же причине такое движение осталось возможным даже после того, как зазор в контактной паре был устранён? Такое иногда случается, если через контактное взаимодействие передаётся слишком большое усилие, прикладываемое за один шаг нагружения. При этом контактное взаимодействие может быть нарушено, и возникнет взаимное проникновение тел. В рассмотренном примере нагрузка как раз была приложена за один шаг. К тому же, пружина является довольно податливым телом, и значение контактной жесткости по умолчанию обычно оказывается чрезмерно большим для таких моделей, включающих очень податливые тела.

Проблема: Нагрузка приложена за один шаг нагружения, жесткость контактной пары, вероятно, является чрезмерной.
Решение проблемы: Использовать несколько шагов нагружения для более плавного приложения нагрузки и уменьшить жесткость контактного взаимодействия.

Попытка №3:

На этот раз были заданы дополнительные шаги нагружения, обеспечившие плавное приложение нагрузки. Также была уменьшена жесткость контактного взаимодействия и задана настройка, благодаря которой решатель будет подстраивать значение жесткости контакта на протяжении всего нелинейного решения, что поможет улучшить сходимость расчёта.

Наконец, расчёт продемонстрировал быструю сходимость. Полученная деформированная форма модели показана на рисунке 4.

Для того, чтобы убедиться в достоверности моделирования контактного взаимодействия, было проверено значение взаимного проникновения тел (contact penetration). Значение глубины проникновения находится в реалистичном диапазоне, и можно сделать вывод, что задача решена успешно.

Таким образом, если бы сразу более рассудительно подойти к решению рассмотренной задачи, то проблем со сходимостью можно было бы избежать при использовании следующих общих рекомендаций:

1. Проверить модель на наличие зазоров.
2. Обеспечить плавное приложение нагрузки.
3. С учётом высокой податливости пружины необходимо снизить контактную жесткость.

Другие способы для улучшения сходимости:

К сожалению, реальные модели с контактным взаимодействием между несколькими деталями зачастую не так просты, как рассмотренная задача. Поэтому для обеспечения сходимости приходится прибегать и к более сложным методикам. Некоторые рекомендации изложены ниже:

Отобразить распределение невязок:  Большие значения невязок по усилиям при использовании метода Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson residual forces) обычно позволяют обнаружить то контактное взаимодействие, которое не позволяет расчёту успешно сойтись.

Уплотнить сетку в зоне контакта: При уплотнении сетки контактные усилия будут распределены по большему числу элементов, а значит, возрастёт число точек, в которых будет рассчитываться статус контактного взаимодействия. Задействование всего нескольких узлов в передаче контактной нагрузки может приводить к возникновению очень высоких контактных напряжений, чрезмерным искажениям элементов и затруднениям в сходимости расчёта. Эта проблема особенно актуальна для расчётов с использованием нелинейных моделей материалов.

Использовать для определения точек расчёта контактного взаимодействия проекцию целевой поверхности на контактную поверхность (выбрать в настройках «Detection Method» – «Nodal-Projected Normal from Contact»): этот способ в большинстве случаев позволяет получить более достоверное распределение контактных давлений и усилий трения, особенно если сетки на контактирующих поверхностях существенно различаются. При использовании этой настройки также повышается точность расчёта напряженного состояния в элементах под контактными элементами.

Добавить демпфирование в контактном взамодействии (contact stabilization damping): Демпфирование является ещё одним способом для устранения движения незакреплённых тел для моделей с зазорами. Этот способ является альтернативой перемещению тел вручную, добавлению смещения к контактным поверхностям и использованию автоматической подстройки контактной пары до соприкосновения (“adjust-to-touch”). Перечисленные методы являются довольно эффективными, но они, по сути, вносят искажения в геометрическую модель, смещая положение точек, для которых рассчитывается статус контакта. Демпфирование позволяет снизить интенсивность взаимного движения тел, в то же время не накладывая жестких ограничений на такое движение. При использовании этого инструмента можно, например, смоделировать закрытие зазора под нагрузкой.

Рассмотренный в данной статье пример демонстрирует типичную работу инженера-расчётчика по обеспечению сходимости расчёта в моделях с контактным взаимодействием. Разобранные проблемы характерны для большого числа контактных задач. Я также очень рекомендую ознакомиться с презентацией «Передовой опыт в обеспечении сходимости нелинейных расчётов в ANSYS»  (“ANSYS Nonlinear Convergence Best Practices”), в которой содержатся дополнительные рекомендации.

Источник: https://caeai.com/blog/how-can-i-get-my-contact-problem-converge
Автор: Steven Hale