Материалы, значительно увеличивающие свои размеры при нагреве, являются редкостью. Однако, в некоторых случаях, можно использовать тепловое расширение как вспомогательный инструмент для учёта значительного распухания тела от какого-то другого явления. В данной статье представлено исследование того, как ведут себя расчётные модели в ANSYS при использовании очень больших значений коэффициента теплового расширения. Обычно, его значение составляет порядка 10-5…10-6, в то время как в описанном ниже примере используется коэффициент 0,01 °С-1, а модель нагревается на 100 °С.

Было рассмотрено 2 проблемных момента:

(1) Каким образом на расчётную модель повлияет тот факт, что при пересчёте матриц на каждом подшаге нелинейных расчётов решатель использует размеры элементов, изменившиеся вследствие теплового расширения.
(2) Проведена оценка того, насколько возрастает масса с ростом размеров элементов, и необходимо ли вводить зависящую от температуры плотность.

Изменяющаяся во времени температурная нагрузка в ANSYS Mechanical (Workbench)

ANSYS Mechanical позволяет повышать приложенные температуры согласно заданным значениям в процессе каждого подшага (substep) расчёта модели. Эти температуры влияют на зависящие от них свойства материала и вызывают тепловое расширение. Их значения могут быть импортированы из теплового расчёта или приложены непосредственно в расчёте напряженно-деформированного состояния. В данном примере в теле задана равномерно распределенная температура, которая постепенно повышается от температуры недеформированного состояния 22° C до значения в 122 °C, то есть, на 100 °C.

Модель для расчёта напряжённо-деформированного состояния при тепловом расширении

Была создана простейшая расчётная модель: куб со стороной 1 м, разбитый структурированной сеткой конечных элементов первого порядка (без промежуточных узлов).

Перпендикулярно трём граням заданы ограничения по перемещению, запрещающие движение по соответствующим осям: UX, UY, UZ.

Постоянная в пределах всего шага (loadstep) нагрузка представляет собой собственный вес куба и приложена как ускорение (объект Acceleration) величиной в 9806,1 мм/с2 по направлению Y. Так как плотность материала задана равной 1000 кг/м3, то вертикальная сила реакции на протяжении всего расчёта должна составлять 9806,1 Н по оси Y.

К телу приложена зависящая от времени тепловая нагрузка. Как показано выше, на рисунке 2, температура возрастает от 22 °C до 122 °C. В настройках расчёта задано увеличение нагрузки в течении 100 подшагов (substeps). Это сделано для того, чтобы точно учесть увеличивающееся тепловое расширение.

Ввиду малых размеров модели выбран прямой (Direct) решатель.

Опция дополнительного ограничения движения «Weak Springs» выключена, так как, вследствие большого теплового расширения, нежелательные нагрузки от «Weak Springs» могут оказаться значительными, а модель имеет достаточное количество граничных условий для предотвращения свободного движения тела. Учет геометрической нелинейности (Large Deflection) включен (ON).

Также в модели заданы более строгие (в сравнении со значением по умолчанию) критерии сходимости (Force Convergence, Displacement Convergence), чтобы гарантировать, что возможное небольшое изменение усилий, обусловленное тепловым расширением, будет заметно на фоне сил реакции. Это позволит получить более точное значение силы реакции и понимание того, как обрабатывается матрица масс при большом тепловом расширении.

Коэффициент теплового расширения

При проведении обычных геометрически линейных расчетов, в которых перемещения считаются малыми, задание изотропного секущего коэффициента теплового расширения (Isotropic Secant Coefficient of Thermal Expansion) не представляет проблем. Оно производится в модуле Engineering Data в интерфейсе ANSYS Workbench, при этом можно задать зависимость коэффициента от температуры. Использование секущего (осреднённого по диапазону от начальной до текущей температур) значения коэффициента позволяет избежать необходимости интегрирования по промежуточным температурам. Таким образом, даже когда коэффициент меняется в зависимости от температуры, правильная величина теплового расширения достигается за один шаг расчёта.

В случае расчета с учетом больших перемещений (геометрической нелинейности), тепловое расширение определяется более сложным образом. На каждом подшаге нагрузки (substep) или, если подшаги не заданы, на каждом шаге нагрузки (loadstep) приращение длины рассчитывается по приращению температуры и текущему размеру:

dL = α_T·L·dT. (1)

Здесь: dL – приращение длины на подшаге;
α_T – коэффициент теплового расширения, используемый в расчёте с учётом геометрической нелинейности;
dT – приращение температуры на подшаге;
L – текущее значение длины (решатель использует среднее значение длины на данном подшаге), для согласования линейного и нелинейного расчётов оно должно быть равно:

L = (α·(T – T_REF) + 1) · L₀ , (2)

где: α – секущий коэффициент теплового расширения для материала при температуре T;
T – температура, для которой необходимо обеспечить равенство теплового расширения в линейном и нелинейном расчётах;
T_REF – температура недеформированного состояния (обычно – 22 °C);
L0 – начальная длина.

После переноса L в левую часть в выражении (1) можно проинтегрировать обе частей на диапазоне длин (от L0 до L) температур (от T_REF до T). Подставив (2), получим выражение для коэффициента теплового расширения в нелинейном расчёте:

α_T = ln(α·(T – T_REF) + 1) / (T – T_REF).

Следует отметить, что описанная корректировка практически не заметна при обычных коэффициентах теплового расширения (порядка 10^-5) и диапазонах температур (порядка 10²), но если произведение α·(T – T_REF) перестаёт быть много меньше единицы, корректировка в нелинейных расчётах становится необходимой.

Недостаток такой корректировки состоит в том, что полученные значения α_T обеспечивают равенство теплового расширения в линейном и нелинейном расчётах только для одного значения температуры, поэтому, если α зависит от T, провести корректировку для нескольких температур одноверменно не получится.

Значения α_T были рассчитаны для заданного диапазона температур, полученная таблица α_T(T) введена в качестве секущих коэффициентов теплового расширения («Isotropic Secant Coefficient of Thermal Expansion») в модуле Engineering Data. На рисунке 5 показана полученная таблица. Эти данные позволяют получить желаемый коэффициент теплового расширения α = 0,01 (для температуры ненапряженного состояния T_REF = 22 °С) в нелинейном расчёте с настройками, приведенными на рисунке 4). При этом приложенная к телу тепловая нагрузка будет повышаться в течение сотни подшагов от T_REF до 122 °С. Так как общий прирост температуры составит 100 °C и α = 0,01, то предполагается увеличение всех линейных размеров тела в два раза. Следует обратить внимание читателя, что для повышения точности расчета коэффициент теплового расширения α_T(T), необходимый в нелинейном расчёте, вычислен для температур с мелким шагом (5 °C).

Масса

Расчёт тестовых задач в ANSYS Mechanical показал, что при росте температуры плотность НЕ нужно корректировать под величину теплового расширения. При расчете на тело действовал только собственный вес, рассчитанный по единственному значению плотности (не зависящему от температуры), и сила реакции была получена постоянной (в пределах допуска на сходимость).

Очевидно, что при расчете в ANSYS масса элемента вычисляется по исходному объему.

Расчет

Расчёт проведен с температурой по телу (Thermal Condition), линейно увеличивающейся за сто подшагов, как показано на рисунках 2 и 4. Тепловое расширение удвоило все линейные размеры куба. Вертикальная реакция была постоянной в пределах допуска на сходимость, плотность оставалась постоянной и не зависела от температуры.

Так как в геометрически нелинейном расчете тепловое расширение рассчитывается с учетом текущего размера тела, объём тела будет увеличиваться как экспоненциальная функция, только если не использовать корректировку α_T = ln(α·(T – T_REF) + 1) / (T – T_REF). Как отмечалось ранее, ограничением такой корректировки является то, что с её помощью может быть получен только один «реальный» коэффициент теплового расширения ? для какой-то фиксированной температуры.

Анализ результатов

Полученное в результате расчета распределение перемещений, вызванных тепловым расширением, представлено на рисунке ниже.

Для наглядной визуализации процесса можно использовать анимацию результатов. Её можно создать как по произвольному достаточно большому количеству временных точек (при этом они равномерно распределяются по оси времени, а промежуточные результаты рассчитываются с использованием линейной интерполяции), так и только для моментов времени, записанных в файле результатов.

Ниже, на рисунке 10, показана величина перемещений от теплового расширения в направлении оси X. Как и предполагалось, размер вдоль оси удвоился, так как температура была повышена на 100 °С, а «реальный» коэффициент теплового расширения составлял α = 0,01. Стоит отметить, что при уменьшении времени нагрева наполовину (изменение температуры на 50°С) рост линейного размера по оси Х составил 500 мм (в пределах числовой погрешности) – таким образом, описанный выше подход работает на всём диапазоне температур в данной задаче (за счёт того, что α постоянен по температуре).

При уменьшении количества подшагов расчёт выполняется быстрее, но точность расчета теплового расширения уменьшается. Это показано путем проведения описанного выше расчета за 5 подшагов:

Выводы

Данная статья описывает особенности задания значительного теплового расширения при расчете методом конечных элементов в модуле ANSYS Mechanical (Workbench). Анализ результатов тестовых расчётов показал, что при необходимости моделирования в нелинейных расчётах значительного распухания тела с помощью больших значений коэффициентов теплового расширения, необходимо выполнять корректировку значений коэффициентов для получения деформаций правильной величины. А именно, в свойствах материала (модуль Engineering Data) необходимо с мелким шагом по температуре ввести таблицу коэффициентов теплового расширения, рассчитанных по формуле:

α_T = ln(α·(T – T_REF) + 1) / (T – T_REF).

Этот способ обеспечивает получение правильного теплового расширения для геометрически нелинейных расчётов, в которых гипотеза о малости относительных деформаций нарушается. При этом расчёты необходимо проводить с достаточным количеством подшагов по времени.

Проверка на тестовых расчётах показала, что аналогичная корректировка плотности не требуется – масса модели остаётся постоянной, даже если во время расчета происходит существенное изменение объема.

Для достижения высокой точности результатов необходимо задать достаточно большое количество подшагов, чтобы численно интегрировать тепловое расширение в температурном диапазоне, а так же строгие допуски на величину невязок по силам и перемещениям. В настройках решателя (Analysis Settings) Workbench Mechanical необходимо отключить «Weak Springs», а геометрическую нелинейность «Large Displacement» – включить. Для оценки точности необходимо провести расчёты для проверки сходимости результатов, которые позволят установить оптимальное количество подшагов по времени, значений ?T по температуре и величин невязок.

При малых коэффициентах теплового расширения (порядка 10-5) описанная выше корректировка коэффициента не требуется, и можно использовать реальные температурные зависимости коэффициента теплового расширения для данного материала.

Методика, описанная в данной статье, позволит пользователям реализовывать в конечноэлементных расчётах значительное увеличение объема тел, обусловленное явлениями различной природы, с помощью изменения температуры.

Источник: www.simutechgroup.com