Как это часто бывает, я узнал для себя что-то новое, отвечая на вопрос, который мне задали в рамках технической поддержки. Я вкратце опишу задачу, а затем расскажу, что же я узнал. Вопрос звучал так: «Можно ли выполнить линейный расчёт потери устойчивости на основе деформированной формы, полученной в модальном расчёте?». Вначале я подумал: «Конечно, а почему бы и нет?», предполагая, что за счёт наличия начального несовершенства мы получим меньший коэффициент нагрузки. Ох, как же я ошибался!

Давайте сперва рассмотрим, как в программных продуктах Ansys реализованы линейный расчёт потери устойчивости и нелинейный расчёт закритического поведения конструкции. Сначала необходимо выполнить статический расчёт на прочность (Static Structural), для примера я взял центрально сжатую консольную стойку высокой гибкости и нагрузил её силой в 10 lbf (фунтов силы). Затем на окне проекта перетягиваем блок для линейного расчёта потери устойчивости (Eigenvalue Buckling) на ячейку Solution блока Static Structural. После задания в настройках расчёта (Analysis Settings) числа форм потери устойчивости, которые необходимо рассчитать, Ansys определяет коэффициенты нагрузки для каждой формы. Если вы задали реальную величину нагрузки в статическом расчёте, то полученный коэффициент нагрузки можно рассматривать как коэффициент запаса по отношению к критической нагрузке. Если же вы задавали произвольную нагрузку, такую как F = 10 lbf, то критическая нагрузка, которая приведёт к потере устойчивости, будет равна произведению силы F на LoadFactor(l) (коэффициент нагрузки для первой формы).

Начиная с версии Ansys 17.0, для выполнения расчёта закритического поведения конструкции вы можете передать деформированную форму, полученную в результате линейного расчёта потери устойчивости (Eigenvalue Buckling), в ячейку Model нового статического расчёта (Static Structural) – при этом в конечноэлементную модель будут введены начальные смещения. Ранее при работе в интерфейсе Mechanical APDL (или при использовании APDL-команд под Workbench Mechanical) нам для этого приходилось использовать команду UPCOORD. Теперь же для этого достаточно связать ячейку Solution блока Eigenvalue Buckling с ячейкой Model нового блока Static Structural, а для передачи материалов нужно также связать ячейки Engineering Data.

После связывания ячеек нужно зайти в окно свойств ячейки Solution блока Eigenvalue Buckling (на рисунке, представленном выше – ячейка B6), нажав для этого правой кнопкой мыши на ячейке и выбрав пункт «Properties». В этом окне нужно указать форму потери устойчивости и масштабирующий коэффициент (scale factor) для передаваемой в связанный статический расчёт исходной деформированной формы. По умолчанию установлена первая форма (Mode 1).

На следующем этапе необходимо задать в новом статическом расчёте те же граничные условия, что использовались ранее в линейном расчёте, но величину силы сделать равной критической нагрузке F·Load Factor(l), где F – это нагрузка, которая была приложена в линейном расчёте потери устойчивости. Также не забудьте включить в настройках (Analysis Settings) нового статического расчёта учёт геометрической нелинейности (Large Deflection > On) и, при необходимости, учесть нелинейные свойства материала (но в нашем примере мы остановимся на линейном материале). В результате такого нелинейного расчёта вы получите реальную величину деформаций, которые возникают под воздействием критической нагрузкой, а увеличив нагрузку, вы получите деформации в закритичном состоянии конструкции.

В данном случае нагрузка F составляла 10 фунтов, а коэффициент нагрузки для первой формы (l) был равен 23,871, поэтому в нелинейном расчёте на первом шаге нагрузки было приложено 238,71 фунта силы, а на втором шаге – 300 фунтов силы. Как вы видите, несмотря на учёт начальной деформированной формы, перемещения остаются очень маленькими вплоть до достижения критической нагрузки и резко возрастают после этого.

По аналогии с учётом начальной деформированной формы в нелинейном расчёте (без которого, кстати, результаты получались бы совсем нефизичными), возникает соблазн учесть начальные деформации и в линейном расчёте. Итак, что же мы можем обнаружить, попытавшись «доработать» стандартный процесс?

Во-первых, выполнение второго линейного расчёта потери устойчивости с введением начальной деформированной формы (блок G на схеме проекта ниже) не изменяет результат. Действительно, как показывает нелинейный расчёт закритического поведения, наличие начальной деформированной формы не оказывает существенного влияния на результаты, пока величина нагрузки не достигнет критической. Введение небольшого искажения лишь определяет направление потери устойчивости (идеальная модель без искажений с равной вероятностью может потерять устойчивость в две стороны), но не влияет ни на величину критической нагрузки, ни на форму потери устойчивости. При этом стоит отметить, что если вы слишком увеличите масштабирующий коэффициент для начальной деформации, это может привести к получению завышенных результатов, так как модель может принять форму потери устойчивости, отличную от исходной.

Второе, что я обнаружил, хотя должен был и так знать с университетского курса динамики и устойчивости, который я проходил всего-то (кхе-кхе) 23 года назад, это то, что даже при одинаковых граничных условиях формы потери устойчивости отличаются от форм свободных колебаний из модального расчёта. Как показано на GIF-анимации ниже, форма собственных колебаний получается немного более плоской, чем форма потери устойчивости.

Для обеспечения одинакового смещения верхнего сечения стойки масштабирующий коэффициент в модальном расчёте составил 2,97e-7, что оказалось несколько меньше, чем при расчёте потери устойчивости – 0,0001. Ниже представлены результаты трёх вариантов линейных расчётов потери устойчивости при одинаковом смещении верха стойки: расчёт D с введением деформированной формы по результатам модального расчёта, расчёт E без учёта начальной деформированной формы и расчёт G с учётом деформированной формы по результатам расчёта на потерю устойчивости.

Итак, теперь вы знаете, что выполнять второй линейный расчёт потери устойчивости для учёта начальной деформированной формы в линейном расчёте не имеет смысла. Впрочем, если до этой статьи вы не задавались такими вопросами, надеюсь, хотя бы мой рассказ о выполнении нелинейного расчёта закритического поведения в среде Ansys Mechanical стал для вас полезным и позволил лучше понять применяемую методику. Всем хорошего дня!

Источник: padtinc.com
Автор: Joe Woodward