В начале 80-х, когда я осваивал конечно-элементные расчёты, симметрия того или иного рода использовалась практически во всех моделях. Причиной тому была малая вычислительная мощность тогдашних компьютеров.

Большинство расчётов выполнялось в двумерной постановке, а несимметричные нагрузки задавались при помощи комбинации симметричных и кососимметричных граничных условий (их также называют обратносимметричными). В моих предыдущих статьях были рассмотрены методы упрощения конечно-элементных моделей при помощи 2D моделирования и осесимметричного моделирования. В этой статье я хочу поговорить об утраченном искусстве кососимметричного моделирования, которое, в сочетании с суперпозицией и симметрией, позволяет значительно сократить вычислительные затраты при решении задач с несимметричными нагрузками.

На рисунке 1 представлена модель пластины, которую можно упростить при помощи комбинации симметричных и кососимметричных граничных условий. Какой же будет максимально упрощенная модель для решения этой задачи, и какими при этом будут граничные условия? Ответ на этот вопрос вы узнаете в конце этой статьи (только, чур, не пролистывать сразу в конец!). Прежде чем переходить к рассмотрению кососимметричных граничных условий, давайте немного вспомним, как задаются условия симметрии.

Граничные условия симметрии можно использовать в двумерных и трёхмерных моделях из балочных, оболочечных и твердотельных элементов. Для этого требуется, чтобы геометрия, материал и условия нагружения по обе стороны от плоскости симметрии были одинаковы. Граничные условия симметрии по своей природе частично ограничивают деформации твердого тела и не вносят никакой искусственной сингулярности, как это часто бывает при жестком закреплении.

Рассмотрим простую модель балки под воздействием двух сосредоточенных сил, показанную на рисунке 2. Сначала моделируется целая балка, а затем рассчитывается её половина с заданной плоскостью симметрии по центру, на которую необходимо наложить ограничения по перемещениям. Для трёхмерных и двумерных моделей из твердотельных элементов необходимо закрепить только линейные перемещения, перпендикулярные плоскости симметрии. Для моделей из балочных и оболочечных элементов необходимо дополнительно закрепить два угла поворота из плоскости (поворот вокруг осей, лежащих в плоскости симметрии). На рисунках 2 – 4 представлено сопоставление результатов расчётов моделей целой балки из твердотельных, оболочечных и балочных элементов и её половины с заданными условиями симметрии.

Кососимметричные граничные условия задаются по аналогии с симметричными, когда на плоскости симметрии вводятся ограничения линейных перемещений и углов поворота, с той лишь разницей, что в этом случае закрепляются те степени свободы, которые оставались незакреплёнными в случае прямой симметрии. Для моделей из твердотельных элементов закрепляются два перемещения в плоскости, а для моделей из балочных и оболочечных элементов дополнительно закрепляется угол поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости симметрии. Следовательно, если объединить симметричные и кососимметричные граничные условия, то плоскость симметрии будет закреплена по всем степеням свободы (в конце 1980-х при работе в версии ANSYS 4 это даже активно использовалось для быстрого задания жесткой заделки для оболочки).

На рисунке 5 показаны граничные условия и результаты расчёта для моделей целой балки (с использованием балочных элементов) и её половины в условиях кососимметричной нагрузки. Видно, что результаты хорошо совпадают друг с другом. Однако следует отметить одно ограничение: если граничные условия симметрии можно использовать при моделировании как больших, так и малых перемещений, то условия косой симметрии можно задавать только при малых перемещениях (когда модель геометрически линейна). Если в плоскости симметрии ожидаются большие линейные перемещения или углы поворота, то условия косой симметрии не следует использовать.

Строго кососимметричные нагрузки встречаются не так часто, но кососимметричную модель можно использовать и для решения задач с несимметричной нагрузкой. Например, если рассматривается задача, где нагрузка приложена только с одной стороны от плоскости симметрии, то её не получится решить ни при введении симметричных, ни при введении кососимметричных граничных условий по отдельности. Однако, несимметричную нагрузку можно задать с использованием суперпозиции: при этом в прямосимметричном расчёте моделируются одинаковые нагрузки по обе стороны плоскости симметрии, а в кососимметричном – равные по величине, но противоположные по направлению. Таким образом, если создать две независимых модели с симметричными и кососимметричными граничными условиями, в которых в одном и том же месте приложено по 50% заданных несимметричных нагрузок, а потом просуммировать результаты, то мы получим решение исходной задачи с несимметричной нагрузкой.

Рассмотрим пример простой балки с несимметричной нагрузкой. Вначале балка рассчитывается на симметричную нагрузку, равную 50% силы, а затем на кососимметричную. Решение для несимметричной нагрузки получают путем комбинации расчётов на основе принципа суперпозиции. Для нагруженной стороны балки решение получают путем сложения, а для ненагруженной – путем вычитания результатов, полученных для симметричной и кососимметричной моделей. Результаты такого интересного расчёта представлены на рисунке 6. Показано, что они совпадают с результатами, полученными для модели целой балки с несимметричной нагрузкой. Стоит отметить, что метод суперпозиции применим только для линейных задач.

Итак, вернемся к нашему первому вопросу о минимальном размере модели для решения задачи, показанной на рисунке 1. На рисунке 7 представлена 1/8 модели с комбинацией симметричных и кососимметричных граничных условий, которая и является ответом на этот вопрос.

А вы используете кососимметричное моделирование в своих задачах?

Источник: caeai.com
Автор: Peter Barrett