Это вторая из серии трех статей про анализ спектрального отклика. В первой статье был описан общий подход и кривые спектральных нагрузок, выступающие в роли исходных данных. В данной статье я расскажу о том, как получить реакцию системы на эти исходные возмущения.
Шаг 2 – получение реакции системы
Перед расчётом спектрального отклика необходимо выполнить расчёт форм и частот собственных колебаний системы. Необходимо определить все собственные формы, которые могут иметь значительное влияние на реакцию системы под действием нестационарной нагрузки. Этот этап очень важен для получения достоверного результата.
Реакция системы вычисляется путем рассмотрения каждой формы собственных колебаний как системы с одной степенью свободы. Отклик на каждую форму масштабируется по значениям на кривой спектральной нагрузки для соответствующей частоты собственных колебаний. Расчет реакции {U}i для i -ой формы колебаний выполняется по формуле:
где Si – значение на кривой спектральной нагрузки для i -ой частоты колебаний;
Υi – коэффициент участия для i -ой формы колебаний, который зависит от направления нагрузки; {φ}i – нормированная по массе i -ая форма колебаний.
Таким образом, исходный спектр, наряду с коэффициентом участия формы, используется в качестве коэффициента масштабирования для каждой нормированной по массе формы собственных колебаний. Поскольку полная реакция системы на нестационарную нагрузку, найденная с помощью спектра, представляет собой линейную комбинацию всех форм собственных колебаний, эти масштабированные формы должны быть каким-то образом объединены. В литературе представлено множество подходов, но все они являются вариациями квадратного корня из суммы квадратов (SRSS – square root of the sum of the squares):
Вы можете возразить, что такой подход несколько произволен, и будете правы. Однако кривая спектральной нагурзки не содержит информацию о фазах каждого максимального отклика, поэтому других альтернатив нет. На этапе комбинирования форм мы вносим некую погрешность (и при этом надеемся, что эта погрешность происходит в запас прочности). Существуют методы, предписанные к использованию в различных стандартах: метод полной квадратичной комбинации (Complete Quadratic Combination), метод группирования (Grouping), метод двойной суммы (Double Sum), метод квадратного корня из суммы квадратов (Square Root of the Sum of the Squares) и т.д. Если в ваших руководящих документах не прописан ни один из этих методов, я рекомендую попробовать все распространенные методы и выбрать тот, который обеспечивает максимальный отклик.
После того как комбинирование завершено, результат расчёта будет представлять собой приближенную оценку максимального отклика системы на заданную нестационарную нагрузку в каждом месте модели. Под откликом может подразумевается перемещение, скорость, ускорение, напряжения, деформации и т.д. Важно понимать, что распределение этих величин по конструкции будет нефизичным – максимальные значения, как правило, не достигаются одновременно, поэтому вы не получите реальные распределения, соответствующие какому-то моменту времени. Вместо этого вы увидите итоговое распределение ожидаемых максимальных значений в каждой точке конструкции в течение всего периода нестационарного процесса.
Чтобы надлежащим образом понять анализ спектрального отклика, необходимо изучить намного больше информации, чем представлено в этой статье. Существует множество книг и статей, посвященных этому типу расчётов. Вот два источника, которые, на мой взгляд, будут полезны для изучения:
- R.W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, 2nd Edition (Revised), ISBN 0- 923907-50-5, Computers and Structures, Inc., Berkeley, California, 2004.
- Combining Modal Responses and Spatial Components in Seismic Response Analysis, Regulatory Guide 1.92, Revision 2, Nuclear Regulatory Commission, Office of Nuclear Regulatory Research, July 2006.
В своей следующей статье я расскажу о некоторых наиболее распространенных ошибках и заблуждениях, связанных с расчётом спектрального отклика.
Источник: https://caeai.com/blog/uncovering-mystery-response-spectrum-analysis-part-ii
Автор: Nick Veikos